Fundamentos de Combinatoria: Notación factorial, Principio multiplicativo y Principio aditivo.

 

Repaso:

NOTACION FACTORIAL
El producto de los enteros positivos desde 1 hasta n incluso, se emplea con mucha frecuencia en matemáticas y aquí lo representaremos por el símbolo especial que es h!, el cual se lee “numero factorial de”.

 

Recuerda la regla  del producto y las reglas de la suma:

PRINCIPIO MULTIPLICATIVO
Si un experimento se realiza en r pasos y si el primer paso se realiza en n1 formas, el segundo de n2,
el tercero de n3, y asi sucesivamente hasta nr, entonces el experimento se pede llevar a cabo de:
N1·N2·N3·................... ·Nr FORMAS

Lo mismo pero de otra forma:

Regla del producto: si un conjunto  o situación A, puede elegirse p formas distintas y de otro conjunto B puede elegirse posteriormente de q formas distintas, entonces la elección de A y B (en dicho orden) se puede realizar de p*q formas.

Ejemplo: En una obra de teatro existen 5 hombres y 6 mujeres para los papeles de la pareja protagonista (masculino y femenino juntos) ¿De cuantas maneras puede elegir el director de la obra la pareja principal?   Papel masculino: 5 opciones Papel femenino 6 opciones Opciones para la pareja protagonista: aplicando el teorema del factor: 6*5=30 opciones posibles

 

Ejemplo: De la ciudad A a la B se puede ir en barco, avión o carretera, de la B a la ciudad C se puede ir en tren y por burro. ¿De cuantas maneras puedo ir de la ciudad A a la C? De A a B se tiene 3 formas de trasporte DE B a C se tienen 2 formas de trasportarse Por tanto, tendremos un total de 3*2=6 posibles caminos con trasportes diferentes

PRINCIPIO ADITIVO
Para dos operaciones mutuamente excluyentes en donde la primera operación puede hacerse de m
formas y la segunda operación de n formas.
entonces una o la otra pueden hacerse de:
M+N FORMAS

Lo mismo dicho de otra forma:

Primera regla de la suma.- Si un conjunto o situación A, puede elegirse de  p formas distintas, y otro conjunto o situación B posteriormente puede elegirse de q formas distintas, la elección de A o B (no ambos) puede realizarse de p+q maneras

Ejemplo: cinco hombres y seis mujeres ensayan para el papel protagonista en una obra, ¿De cuantas manera se puede elegir dicho papel? Actores: 5 opciones Actrices: 6 opciones Opciones para el papel protagónico: 6+5= 11 opciones

1.- Regla de la adición.
la regla de la adición expresa que la probabilidad de que ocurran a o b o ambos es igual a la
probabilidad de “a” mas la probabilidad de “b” menos la probabilidad de que ocurran ambos.
P (AUB) = P (A) + P (B) – P (A∩B)

Lo mismo pero expresado de otra manera:

Segunda regla de la suma.- Si un conjunto o situación A, puede elegirse de  p formas distintas, y otro conjunto o situación B posteriormente puede elegirse de q formas distintas, existiendo r elecciones dentro de las p coincidentes con las q. La elección de A o B se puede realizar de p+q-r

Ejemplo: ¿Cuantos números de dos cifras son múltiplos de dos o de tres siendo estos menores a 23? Múltiplos de 2: {10, 12, 14, 16, 18, 20, 22} Múltiplos de 3: {12, 15, 18, 21} múltiplos de 2 y 3 menores a 23: {12, 18} p+q-r=7+4-2= 9

 

  

Ejemplo: Una matricula se forma con tres letras y cuatro dígitos,  ejemplo: AAH8130 ¿Cuántas hay que comiencen con  A, y el numero comience o termine con 0? Respuesta: Si el alfabeto en español tiene 27 letras y los posibles dígitos son 10. tenemos A           0 1 27 27 10 10 10 1 Posibles matriculas: 1*27*27*10*10*1=72,900   A     0       1 27 27 1 10 10 10 Posibles matriculas: 1*27*27*10*10*1=72,900   Ahora utilizando la primera regla de la suma por que pregunta es comience O termine en cero, tenemos: 72900-72900=145800