Arreglo de particiones con repetición

 Arreglo por principio de barras y estrellas  o arreglo por particiones, tambien llamado arreglo de Barras y estrellas:

El teorema de particiones o el principio de estrellas y barras es una herramienta fundamental en combinatoria que se utiliza para contar la distribución de objetos indistinguibles en contenedores. A continuación, explicaré la deducción y el razonamiento detrás de este principio paso a paso.

Concepto Básico

El principio de estrellas y barras se utiliza para contar el número de maneras de distribuir $n$ objetos indistinguibles en $k$ contenedores (o lugares), donde cada contenedor puede tener cero o más objetos.

Ejemplo

Supongamos que queremos distribuir 4 objetos indistinguibles en 3 lugares. Queremos encontrar el número de maneras en que esto puede hacerse.

Paso 1: Visualización del Problema

Imaginemos que representamos los objetos como estrellas ($\ast$) y las divisiones entre los contenedores como barras ($\mathrm{\mid }$). Por ejemplo, si tenemos 4 objetos y 3 contenedores, podemos visualizar una distribución como:

text
**|*|**

Esto representaría que hay 2 objetos en el primer lugar, 1 objeto en el segundo lugar y 1 objeto en el tercer lugar.

Paso 2: Formulación del Problema

Para distribuir $n$ objetos indistinguibles en $k$ lugares, necesitamos usar $k-1$ barras para crear $k$ secciones. Por lo tanto, si tenemos $n$ objetos y $k-1$ barras, el total de símbolos (estrellas + barras) es:

$$n+(k-1)$$

Paso 3: Cálculo de Combinaciones

El número total de maneras de organizar estos símbolos (estrellas y barras) es simplemente elegir las posiciones para las barras entre todos los símbolos. Esto se puede calcular usando combinaciones:

$$\text{N mero de maneras}=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n+k-1}{k-1}\right)$$

Donde:

• $n$ es el número de objetos.
• $k$ es el número de contenedores.
• $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n+k-1}{k-1}\right)$ es el coeficiente binomial que representa las combinaciones.

Paso 4: Ejemplo Numérico

Siguiendo con nuestro ejemplo anterior, si queremos distribuir 4 objetos en 3 lugares, tenemos:

• $n=4$
• $k=3$

Sustituyendo en la fórmula:

$$\text{N mero de maneras}=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{4+3-1}{3-1}\right)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{6}{2}\right)$$

Calculamos:

$$\left(\genfrac{}{}{0px}{}{6}{2}\right)=\frac{6!}{2!(6-2)!}=\frac{6\times 5}{2}=15$$

Por lo tanto, hay 15 maneras de distribuir los 4 objetos indistinguibles en los 3 lugares.

Conclusión

El principio de estrellas y barras permite contar distribuciones sin necesidad de enumerar cada caso individualmente. Es una técnica poderosa en combinatoria que simplifica la resolución de problemas relacionados con la distribución de objetos indistinguibles.